Giải tích Ví dụ

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$y'' + 25 y = 0$

Bước 2

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Bước 2.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 2.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Vì $A$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $A \sin (5 x)$ đối với $x$ là $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.5

Nhân $5$ với $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.2.7

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Bước 2.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Vì $B$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $B \cos (5 x)$ đối với $x$ là $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 2.3.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 2.3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 2.3.3.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 2.3.3.5

Nhân $5$ với $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Bước 2.3.3.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Bước 2.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Bước 2.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Bước 3

Tìm $y''$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập đạo hàm.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $5 A$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 A \cos (5 x)$ đối với $x$ là $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.5

Nhân $5$ với $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.3.7

Nhân $- 5$ với $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 5 B$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 B \sin (5 x)$ đối với $x$ là $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 3.4.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 3.4.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Bước 3.4.5

Nhân $5$ với $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Bước 3.4.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Bước 3.4.7

Nhân $5$ với $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Bước 4

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $- 25 A \sin (5 x)$ và $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Bước 5.2.2

Cộng $- 25 B \cos (5 x)$ và $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Bước 5.2.3

Cộng $- 25 B \cos (5 x)$ và $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Bước 6

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ là đáp án của $y'' + 25 y = 0$