Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 3 x + 4$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 3 x + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Bước 2.3.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$