Giải tích Ví dụ

$x + 2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ cho $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ cho $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.2.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.3.2

Nhân $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Bước 1.1.2.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.3.1

Nhân $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.1.2.3.3.2

Di chuyển $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Bước 1.1.2.3.3.3

Nâng $\sqrt{x^{2} + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Bước 1.1.2.3.3.4

Nâng $\sqrt{x^{2} + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Bước 1.1.2.3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Bước 1.1.2.3.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 1.1.2.3.3.7

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.1.2.3.3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.1.2.3.3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.2.3.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.2.3.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Bước 1.1.2.3.3.7.5

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (x^{2} + 1)}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Bước 1.4.2

Kết hợp.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Bước 1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Bước 1.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Bước 1.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Bước 1.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1)}$

Bước 1.4.4

Nhân $x$ với $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$y d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 2.3.3

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.3.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.3.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{u}}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Bước 2.3.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Bước 2.3.6.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Bước 2.3.6.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Bước 2.3.6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.3.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.6.3.2

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.3.2.1

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.3.2.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.6.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.6.3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.6.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Bước 2.3.6.3.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.6.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.4.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.6.4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.6.4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.6.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Viết lại $- \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$