Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

Bước 1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

Bước 1.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

Bước 1.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 1 y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

Bước 1.2.4

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{- y + 2}$ .

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $- y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = - y + 2$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = - y + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 2.2.1.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.2.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y + 2$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.2.2

Chia $\ln (| - y + 2 |)$ cho $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.4

Chia $x$ cho $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.5

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

Bước 3.1.3.1.6

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

Bước 3.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

Bước 3.3

Viết lại $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ .

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

Bước 3.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

Bước 3.4.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.4.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Để viết $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.4.3.2

Để viết $\frac{- 2}{- 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.4.4.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $1$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.3.1

Nhân $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.4.4.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.4.4.3.3.3

Nhân $\frac{- 2}{- 1}$ với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Bước 3.4.4.3.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Bước 3.4.4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Bước 3.4.4.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.5.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Bước 3.4.4.3.5.2

Viết lại $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ ở dạng $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Bước 3.4.4.3.5.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

Bước 3.4.4.3.6

Chia $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ cho $1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

Bước 4.2

Viết lại $e^{- x^{2} + x + C}$ ở dạng $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $e^{- x^{2} + x}$ và $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

Bước 4.4

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$