Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

Bước 1

Trừ $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ .

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $6 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ vào tử số.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ vào tử số.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Bước 3.4.2

Đưa $\cos^{2} (y)$ ra ngoài $- \cos^{2} (y)$ .

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Bước 3.4.4

Viết lại biểu thức.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.2

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (y)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.6

Giả sử $u_{1} = 2 y$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 4.2.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.2.6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.7

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.9

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.10

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 y$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 y)$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.12.3

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.12.4

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.12.4.1

Nhân $\frac{\sin (2 y)}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.12.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.2.13

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u_{2} = 6 x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = 6 x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 + 0$

Bước 4.3.2.1.4.2

Cộng $6$ và $0$ .

$6$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Bước 4.3.3.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 4.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $6 x + 1$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$