Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{2}) d y - x y d x = 0$

Bước 1

Cộng $x y d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$(1 + x^{2}) d y = x y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Bước 3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Bước 3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} x d x$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{1 + x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.3.1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 4.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Bước 5.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.3

Để viết $\ln (| y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $\ln (| y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.6.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Bước 5.6.1.1.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2} = C$

Bước 5.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Bước 5.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 5.6.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 5.6.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 5.6.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 5.6.1.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 5.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Bước 5.8

Viết lại $\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Bước 5.9.2

Nhân cả hai vế với ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.9.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.9.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = C {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$