Giải tích Ví dụ

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $y (8 x - 9 y) d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

Bước 1.2

Viết lại.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 9 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.2

Vì $8 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $8 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.4

Vì $- 9$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 9 y$ đối với $y$ là $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 9$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.6.2

Di chuyển $- 9$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Bước 2.3.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Nhân $8 x - 9 y$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Bước 2.3.8.2

Trừ $9 y$ khỏi $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x (x - 3 y)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3

Vì $- 3 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Bước 3.4.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Nhân $x - 3 y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Bước 3.4.6.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Bước 3.5.2.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $8 x - 18 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $4 x - 6 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $8 x - 18 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $4 x - 6 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Bước 5.3

Thay $2 x (x - 3 y)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $2 x (x - 3 y)$ bằng $N$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2.5

Viết lại $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ ở dạng $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2.6

Đưa $2$ ra ngoài $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.2.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Bước 5.3.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Bước 5.3.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 4 x$ và $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.3.2

Trừ $3 y$ khỏi $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x + 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- x + 3 y$ và $x - 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.4.4

Viết lại $- (x - 3 y)$ ở dạng $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.4.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Bước 5.3.4.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Bước 5.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn $2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Bước 6.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Bước 6.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ với hệ số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y (8 x - 9 y)$ với $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Di chuyển $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.5.2

Nhân $y$ với $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.7

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.7.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.7.3

Cộng $2$ và $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.8

Nhân $2 x (x - 3 y)$ với $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Bước 7.9

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.9.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.9.3

Cộng $2$ và $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Bước 7.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Bước 7.11

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Di chuyển $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Bước 7.11.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Bước 7.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Bước 7.11.3

Cộng $1$ và $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Bước 7.12

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Bước 7.13

Nhân $2$ với $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Bước 9.2

Vì $8 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Bước 9.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Bước 9.4

Vì $- 9 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 9 y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Bước 9.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 9.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 9.7.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Bước 9.7.4

Kết hợp $- 9$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Bước 9.7.5

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Bước 9.7.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Bước 9.7.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Bước 9.7.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Bước 9.7.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Bước 9.7.6.2.4

Chia $y^{2} (- 3 x^{3})$ cho $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $2 x^{4}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y x^{4}$ đối với $y$ là $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.4

Tính $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Vì $- 3 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} (- 3 x^{3})$ đối với $y$ là $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.4.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 12.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $2 x^{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Bước 13.1.2

Cộng $6 x^{3} y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Bước 13.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1

Trừ $2 x^{4}$ khỏi $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Bước 13.1.3.2

Cộng $- 6 x^{3} y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Bước 13.1.3.3

Cộng $- 6 x^{3} y$ và $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Bước 14.3

Tích phân của $0$ đối với $y$ là $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Bước 14.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (y) = C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Bước 16

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$