Giải tích Ví dụ

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $e^{- y^{2}}$ ra ngoài $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Bước 1.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ và $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Làm âm số mũ của $e^{- y^{2}}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.2.2.2

Nhân $- y^{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.2.2.2.2

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = y^{2}$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = y^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Bước 2.2.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Bước 2.2.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{y^{2}})$ bằng cách di chuyển $y^{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Bước 3.4.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Bước 3.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Bước 3.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Bước 3.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Bước 3.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$