Giải tích Ví dụ

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

Bước 1

Trừ $(1 + \ln (y)) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 + \ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ vào tử số.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Bước 3.5.2

Đưa $1 + \ln (y)$ ra ngoài $x (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Bước 3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Bước 3.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = \ln (y)$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , nên $y d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = \ln (y)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Bước 4.2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.2

Giả sử $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Bước 4.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 4.2.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 4.2.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 4.2.2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 4.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.4

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.4.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

Bước 5.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

Bước 5.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (| x + \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

Bước 5.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

Bước 5.7

Viết lại $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

Bước 5.8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

Bước 5.8.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

Bước 5.8.2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

Bước 5.8.2.3

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ cho $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Bước 5.8.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Bước 5.8.2.3.2.1.2

Chia $\ln (y)$ cho $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Bước 5.8.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Bước 5.8.2.3.3.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Bước 5.8.2.4

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Bước 5.8.2.5

Viết lại $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

Bước 5.8.2.6

Viết lại phương trình ở dạng $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$