Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 7.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 7.3

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Bước 7.5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 7.6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 7.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 7.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Bước 7.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Bước 7.9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Bước 7.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Viết lại $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Bước 7.10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Bước 7.10.2.2

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Bước 7.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 7.12

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.6.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.8

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Bước 8.3.1.9

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Bước 8.3.1.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Bước 8.3.1.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Bước 8.3.1.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Bước 8.3.1.10.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

Bước 8.3.1.11

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

Bước 8.3.1.12

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{2}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

Bước 8.4

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Bước 8.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Bước 8.4.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Bước 8.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1

Rút gọn $(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1.2.1

Nhân $- \frac{x}{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1.2.1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{x}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Bước 8.4.2.2.1.2.3

Kết hợp $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ và $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

Bước 8.4.2.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

Bước 8.4.2.2.1.4

Di chuyển $\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

Bước 8.4.2.2.1.5

Di chuyển $x^{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$