Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 x d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int x d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $e^{x^{2}}$ với $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Bước 6.2

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{2}} y = C$ cho $e^{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{2}} y = C$ cho $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Bước 9.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Bước 9.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{0^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Bước 9.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Rút gọn $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Bước 9.3.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Bước 9.3.2.1.3

Nhân $1$ với $1$ .

$C = 1$

Bước 10

Thay $1$ cho $C$ trong $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $1$ bằng $C$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$