Giải tích Ví dụ

$(3 x^{2} - 2 x - y) d x + (2 y - x + 3 y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 x - y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 2 x - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.2.2

Vì $3 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.2.3

Vì $- 2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1$

Bước 1.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Bước 1.4.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y - x + 3 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x + 3 y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y - x + 3 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Bước 2.2.2

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Bước 2.4

Vì $3 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + 0$

Bước 2.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 1 = - 1$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} - 2 x - y d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Bước 5.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int - y d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Bước 5.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Bước 5.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Bước 5.8

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} - x^{2} - y x + g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.2.2

Vì $x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.2.3

Vì $- x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y x$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.5.1.2

Trừ $x$ khỏi $0$ .

$- x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - x = 2 y - x + 3 y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2} + x$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y - x + 3 y^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $2 y + 3 y^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 y + 3 y^{2}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int 2 y d y + \int 3 y^{2} d y$

Bước 10.4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 \int y d y + \int 3 y^{2} d y$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 y^{2} d y$

Bước 10.6

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 \int y^{2} d y$

Bước 10.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Bước 10.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Bước 10.9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Bước 10.9.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = 1 y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Bước 10.9.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$g (y) = y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Bước 10.9.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Bước 10.9.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Bước 10.9.5.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = y^{2} + 1 y^{3} + C$

Bước 10.9.6

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$g (y) = y^{2} + y^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + y^{2} + y^{3} + C$