Giải tích Ví dụ

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $21 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $21 x^{2} y^{4}$ đối với $y$ là $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $21$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 8 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 8 x^{3} y$ đối với $y$ là $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

Bước 1.4.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $28 y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $28 x^{3} y^{3}$ đối với $x$ là $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $28$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{4}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

Bước 2.4.3

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Bước 5.2

Vì $21 y^{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $21 y^{4}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

Bước 5.4

Vì $- 8 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $21$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7.2.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 5.7.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

Bước 5.7.4

Kết hợp $- 8$ và $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

Bước 5.7.5

Kết hợp $y$ và $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

Bước 5.7.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $y (- 8 x^{4})$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

Bước 5.7.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

Bước 5.7.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

Bước 5.7.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

Bước 5.7.6.2.4

Chia $y (- 2 x^{4})$ cho $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $7 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $7 y^{4} x^{3}$ đối với $y$ là $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.3.3

Nhân $4$ với $7$ .

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $- 2 x^{4}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y (- 2 x^{4})$ đối với $y$ là $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $2 x^{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

Bước 9.1.2

Trừ $28 x^{3} y^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Cộng $- 2 x^{4}$ và $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

Bước 9.1.3.2

Cộng $28 x^{3} y^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

Bước 9.1.3.3

Trừ $28 x^{3} y^{3}$ khỏi $28 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $y$ là $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (y) = C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Bước 12

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$