Giải tích Ví dụ

$(3 x^{2} + 3 x y^{2}) d x + (3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 3 x^{2} + 3 x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 3 x y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 3 x y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

Bước 1.2.2

Vì $3 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x y^{2}$ đối với $y$ là $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x (2 y)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x y$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $6 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 3 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.4.2

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0 + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Cộng $6 y x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0$

Bước 2.5.1.2

Cộng $6 y x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $6 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $6 x y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $6 x y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x y = 6 x y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$6 x y = 6 x y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 3 x y^{2} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 3 x^{2} + 3 x y^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 3 x y^{2} d x$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 3 x y^{2} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x y^{2} d x$

Bước 5.4

Vì $3 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3 y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} \int x d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{3}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.5

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.7

Nhân $3$ với $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Bước 5.7.8

Kết hợp $\frac{3 y^{2}}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} + C$

Bước 5.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.2.2

Vì $x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{3 y^{2}}{2}$ và $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.3

Vì $\frac{3 x^{2}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}$ đối với $y$ là $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2})}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.6

Nhân $3$ với $2$ .

$0 + \frac{6 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.7

Kết hợp $\frac{6 x^{2}}{2}$ và $y$ .

$0 + \frac{6 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{3 x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.3.8.2.4

Chia $3 x^{2} y$ cho $1$ .

$0 + 3 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Cộng $0$ và $3 x^{2} y$ .

$3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $3 x^{2} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y - 3 x^{2} y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y - 3 x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $3 x^{2} y$ khỏi $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $- 3 y^{2} + 2 y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- 3 y^{2} + 2 y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{2} + 2 y d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{2} + 2 y d y$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int - 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

Bước 10.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

Bước 10.6

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

Bước 10.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$g (y) = - y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.9.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 10.9.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = - y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 10.9.4.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = - y^{3} + 1 y^{2} + C$

Bước 10.9.5

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$g (y) = - y^{3} + y^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} - y^{3} + y^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} - y^{3} + y^{2} + C$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{3 y^{2}}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} - y^{3} + y^{2} + C$