Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Bước 1.1.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Bước 1.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Bước 1.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Bước 1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Bước 1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Bước 1.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Bước 1.2.5

Nhân $x$ với $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Bước 1.3

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Bước 1.4

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $\frac{x + 1}{x}$ với $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $1 + y$ ra ngoài $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Bước 1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Bước 1.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Bước 1.5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Bước 1.6

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$