Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 7 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 7 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Bước 2.3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $6$ cho $x$ và $19$ cho $y$ trong $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Bước 4.2

Rút gọn $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Trừ $6$ khỏi $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Bước 4.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Bước 4.2.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Bước 4.2.1.4.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $C$ .

$C = 19$

Bước 5

Thay $19$ cho $C$ trong $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $19$ bằng $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Bước 5.2

Nhân $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại $\ln (| 7 - x |)$ và $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Bước 5.2.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$