Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(1 + x^{2}) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Bước 1.6

Cộng $0$ và $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $1$ và $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Bước 1.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Bước 1.10

Di chuyển $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.4.2.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ cho $1 + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ cho $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$