Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 1.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Bước 6.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Bước 6.3.2

Nhân $\int \cos (x) d x$ với $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Bước 6.4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Bước 6.5

Viết lại $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ ở dạng $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.3.1.2

Chia $- \cos (x)$ cho $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$