Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.6

Nhân $y$ với $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int x d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.1.2.5

Chia $\frac{1}{2} x$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

Bước 7

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ .

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

Bước 8

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

Bước 8.2

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

Bước 8.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

Bước 8.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 8.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 8.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 8.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

Bước 8.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

Bước 9

Thay $\frac{3}{2}$ cho $C$ trong $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay $\frac{3}{2}$ bằng $C$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 9.2.2

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$