Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8)$ , $y (\ln (2)) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{2} = e^{3 t} - 8$ . Sau đó $d u_{2} = 3 e^{3 t} d t$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 t} d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{3 t} - 8$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{3 t} - 8$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 8]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 t} - 8$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t$ .

$e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.3.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 t}$ .

$3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 8]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $- 8$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $t$ là $0$ .

$3 e^{3 t} + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $3 e^{3 t}$ và $0$ .

$3 e^{3 t}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{3 t} - 8$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{3 t} - 8) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\ln (2)$ cho $t$ và $0$ cho $y$ trong $y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$ .

$0 = - \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K = 0$ .

$- \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Rút gọn $3 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$- \cos (e^{\ln (2^{3})} - 8) + K = 0$

Bước 4.2.1.1.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$- \cos (2^{3} - 8) + K = 0$

Bước 4.2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \cos (8 - 8) + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Bước 4.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + K = 0$

Bước 4.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 1$

Bước 5

Thay $1$ cho $K$ trong $y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $1$ bằng $K$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 8) + 1$