Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.6

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 24$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Bước 2.3.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Bước 2.3.9.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Bước 2.3.9.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Bước 2.3.9.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $3$ cho $x$ và $- 6$ cho $y$ trong $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Bước 4.2

Rút gọn $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Bước 4.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Bước 4.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Bước 4.2.1.5

Nhân $- 12$ với $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Bước 4.2.1.6

Nhân $8$ với $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $27$ khỏi $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Bước 4.2.2.2

Trừ $108$ khỏi $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Bước 4.2.2.3

Cộng $- 54$ và $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $30$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = - 6 + 30$

Bước 4.3.2

Cộng $- 6$ và $30$ .

$K = 24$

Bước 5

Thay $24$ cho $K$ trong $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $24$ bằng $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$