Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = t - 3$ . Sau đó $d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = t - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 2.3.4.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $3$ cho $t$ và $4$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

Bước 4.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Bước 4.2.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Bước 4.2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

Bước 4.2.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Bước 4.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

Bước 4.2.6.2

Cộng $9$ và $4$ .

$\frac{13}{2} + K = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{13}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 4 - \frac{13}{2}$

Bước 4.3.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$K = \frac{8 - 13}{2}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $13$ khỏi $8$ .

$K = \frac{- 5}{2}$

Bước 4.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$K = - \frac{5}{2}$

Bước 5

Thay $- \frac{5}{2}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{5}{2}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Bước 5.3

Để viết $2 e^{t - 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.4

Kết hợp $2 e^{t - 3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.6

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$