Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x + 7}$ , $y (- 7) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 9 e^{x + 7} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 9 e^{x + 7} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 9 e^{x + 7} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 9 \int e^{x + 7} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x + 7$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x + 7$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 9 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 9 (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = 9 e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 7$ .

$y + C_{1} = 9 e^{x + 7} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 9 e^{x + 7} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $- 7$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = 9 e^{x + 7} + K$ .

$0 = 9 e^{- 7 + 7} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $9 e^{- 7 + 7} + K = 0$ .

$9 e^{- 7 + 7} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $9 e^{- 7 + 7} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$9 e^{0} + K = 0$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$9 \cdot 1 + K = 0$

Bước 4.2.2.2

Nhân $9$ với $1$ .

$9 + K = 0$

Bước 4.3

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 9$

Bước 5

Thay $- 9$ cho $K$ trong $y = 9 e^{x + 7} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 9$ bằng $K$ .

$y = 9 e^{x + 7} - 9$