Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = (5 t + \cos (t)) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 5 t + \cos (t) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 5 t + \cos (t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{1} = \int 5 t d t + \int \cos (t) d t$

Bước 2.3.2

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$s + C_{1} = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Bước 2.3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$s + C_{1} = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $0$ cho $s$ trong $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$0 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = 0$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $\frac{5}{2}$ với $0$ .

$0 + \sin (0) + K = 0$

Bước 4.2.1.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + 0 + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + K = 0$

Bước 4.2.1.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 0$

Bước 5

Thay $0$ cho $K$ trong $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + 0$

Bước 5.2

Cộng $\frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$ và $0$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $t^{2}$ .

$s = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t)$