Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 4 x^{2}$

Bước 1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 4 x^{2}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 2 x d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 \int x d x}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x^{2}} y = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Bước 7.2

Giả sử $u_{1} = - x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Hãy đặt $u_{1} = - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Tính đạo hàm $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 7.2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 x)$

Bước 7.2.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x$

Bước 7.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\sqrt{- u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Bước 7.3.3

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1})$

Bước 7.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e^{- x^{2}} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 7.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.7.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = e^{u_{1}}$ và $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9.5

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.9.6

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Bước 7.9.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Bước 7.9.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.11.2

Nhân $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ với $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.12

Vì $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.13

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Bước 7.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1

Viết lại $- 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ ở dạng $- 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.2.1

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.14.2.2

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.14.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.14.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.14.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.14.2.6

Kết hợp $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Bước 7.14.2.7

Cộng $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ và $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \cdot 0 + C$

Bước 7.14.2.8

Nhân $- 2$ với $0$ .

$e^{- x^{2}} y = 0 + C$

Bước 7.14.2.9

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{- x^{2}} y = C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x^{2}} y = C$ cho $e^{- x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x^{2}} y = C$ cho $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$