Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Trừ $5 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 5 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 5 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 5 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $e^{- 5 x}$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Bước 7.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Bước 7.3

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Bước 7.5

Giả sử $u = - 5 x$ . Sau đó $d u = - 5 d x$ , nên $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Hãy đặt $u = - 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Tính đạo hàm $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 7.5.1.2

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Bước 7.5.1.4

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 5$

Bước 7.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Bước 7.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Bước 7.6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 7.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Bước 7.8

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Bước 7.9.2

Nhân $5$ với $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Bước 7.10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Bước 7.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Viết lại $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Bước 7.11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Bước 7.11.2.2

Kết hợp $e^{- 5 x}$ và $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Bước 7.12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Bước 7.13

Kết hợp $e^{- 5 x}$ và $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Bước 7.14

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $e^{- 5 x}$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Bước 8.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Bước 8.1.3

Kết hợp $e^{- 5 x}$ và $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ cho $e^{- 5 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ cho $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.2

Nhân $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ với $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.5

Nhân $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ với $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 8.2.3.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ .

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ .

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Bước 10.2

Rút gọn $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chia $0$ cho $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Bước 10.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Bước 10.2.2.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

Bước 10.2.2.3

Chia $C$ cho $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

Bước 10.2.3

Trừ $\frac{1}{25}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Cộng $\frac{1}{25}$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

Bước 10.3.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

Bước 10.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

Bước 10.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

Bước 10.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.5.1

Nhân $3$ với $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

Bước 10.3.5.2

Cộng $75$ và $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

Bước 11

Thay $\frac{76}{25}$ cho $C$ trong $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $\frac{76}{25}$ bằng $C$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

Bước 11.2.2

Kết hợp.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

Bước 11.2.3

Nhân $76$ với $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$