Giải tích Ví dụ

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ cho $e^{t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ cho $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2.2.3

Viết lại $- y^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Làm âm số mũ của $e^{t}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Bước 2.3.1.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Bước 2.3.1.2.1.3

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $e^{- t}$ với $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y, 1, 1$

Bước 3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ với $y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ với $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Bước 3.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y e^{- t} + K y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Bước 3.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Bước 3.3.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Bước 3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- t}$ ở dạng $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Bước 3.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y (- e^{- t} + K) = - 1$ cho $- e^{- t} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (- e^{- t} + K) = - 1$ cho $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Bước 3.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- e^{- t} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Bước 3.3.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Bước 3.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Bước 3.3.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Bước 3.3.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Bước 3.3.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Bước 3.3.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.3.5.1

Viết lại $- (e^{- t} - K)$ ở dạng $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Bước 3.3.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Bước 3.3.4.3.5.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Bước 3.3.4.3.5.4

Nhân $\frac{1}{e^{- t} - K}$ với $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $\frac{1}{4}$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Bước 6.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Bước 6.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1 + K, 4$

Bước 6.3.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 6.3.3

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 6.3.4

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2$

Bước 6.3.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 6.3.6

Thừa số cho $1 + K$ là chính nó $1 + K$ .

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 6.3.7

BCNN của $1 + K$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$1 + K$

Bước 6.3.8

Bội số chung nhỏ nhất $LCM$ của một vài số là số nhỏ nhất mà các số là các thừa số của nó.

$4 (1 + K)$

Bước 6.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ với $4 (1 + K)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ với $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Bước 6.4.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Bước 6.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Bước 6.4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Bước 6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Bước 6.4.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$4 = 1 + K$

Bước 6.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Bước 6.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 4 - 1$

Bước 6.5.2.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$K = 3$

Bước 7

Thay $3$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $3$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$