Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 2.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 2.2.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 2.2.5.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 2.2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Bước 3.1.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Bước 3.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = - x^{2} - K$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Bước 3.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$