Giải tích Ví dụ

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 1

Trừ $x d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Viết lại $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$