Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $r^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $r^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $r^{- 2}$ đối với $r$ là $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.2.3

Viết lại $- r^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3

Tích phân của $\frac{1}{θ}$ đối với $θ$ là $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$r, 1, 1$

Bước 3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$r$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ với $r$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ với $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{r}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Bước 3.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Bước 3.3.2

Đưa $r$ ra ngoài $r \ln (| θ |) + C r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $r$ ra ngoài $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Bước 3.3.2.2

Đưa $r$ ra ngoài $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Bước 3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ cho $\ln (| θ |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ cho $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (| θ |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Bước 3.3.3.2.1.2

Chia $r$ cho $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Bước 3.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $θ$ và $2$ cho $r$ trong $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Bước 5

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Bước 5.2

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Bước 5.2.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Bước 5.2.3

Cộng $0$ và $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Bước 5.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$C, 1$

Bước 5.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$C$

Bước 5.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{C} = 2$ với $C$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{C} = 2$ với $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{C}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Bước 5.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Bước 5.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = 2 C$

Bước 5.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 C = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 C = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$C = - \frac{1}{2}$

Bước 6

Thay $- \frac{1}{2}$ cho $C$ trong $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay $- \frac{1}{2}$ bằng $C$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Để viết $\ln (| θ |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\ln (| θ |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 6.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Bước 6.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Nhân $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.1

Sắp xếp lại $\ln (| θ |)$ và $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Bước 6.2.4.1.2

Rút gọn $2 \cdot \ln (| θ |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Bước 6.2.4.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| θ |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Bước 6.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Bước 6.4

Nhân $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ với $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$