Giải tích Ví dụ

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 2.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 2.3.4

Vì đạo hàm của $- \cot (t)$ là $\csc^{2} (t)$ , tích phân của $\csc^{2} (t)$ là $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\frac{π}{2}$ cho $t$ và $- 7$ cho $v$ trong $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ .

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ .

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{2}$ .

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Bước 4.2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Bước 4.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Bước 4.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Bước 4.2.1.1.4

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

Bước 4.2.1.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

Bước 4.2.1.2

Cộng $π^{2}$ và $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

Bước 4.3

Trừ $π^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 7 - π^{2}$

Bước 5

Thay $- 7 - π^{2}$ cho $K$ trong $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 7 - π^{2}$ bằng $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$