Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

Bước 1.3

Chia mỗi số hạng trong $2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ cho $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 1.4.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 1.5

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

Bước 1.7

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{\frac{1}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.4

Kết hợp.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.5

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.6

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.6.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.2.6.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 3.4

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Bước 3.4.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Bước 3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

Bước 3.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Bước 3.4.5

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{5}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.3.2.2

Nhân $2$ với $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ cho $x^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ cho $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3.1.2

Nhân $x^{\frac{5}{2}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.4

Cộng $- 1$ và $5$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.5

Chia $4$ cho $2$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$