Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = \frac{t + t y}{1 + t^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $t$ ra ngoài $t + t y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{1} + t y}{1 + t^{2}}$

Bước 1.1.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t y}{1 + t^{2}}$

Bước 1.1.3

Đưa $t$ ra ngoài $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t (y)}{1 + t^{2}}$

Bước 1.1.4

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot 1 + t (y)$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Bước 1.1.5

Nhân $t$ với $1 + y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} (\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $1 + y$ ra ngoài $\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = 1 + y$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 + y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 t d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 2.3.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $0$ và $2 t$ .

$2 t$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + t^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| 1 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.3

Để viết $\ln (| 1 + y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\ln (| 1 + y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| 1 + y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| 1 + y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2} = C$

Bước 3.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}) = C$

Bước 3.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Bước 3.8

Viết lại $\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Bước 3.9.2

Nhân cả hai vế với ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Rút gọn $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 + y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.3.1.2

Sắp xếp lại $1$ và $y$ .

$y + 1 = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = C {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$