Giải tích Ví dụ

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Bước 2

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x v$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Bước 2.4

Thay $\frac{d v}{d x}$ bằng $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Bước 2.5

Sắp xếp lại $v$ và $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Bước 2.6

Nhân $v$ với $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$x v = \int 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Bước 6.2

Cộng $0$ và $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x v = C_{1}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $x v = C_{1}$ cho $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Bước 7.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Bước 9

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Bước 10

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Bước 10.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Vì $C_{1}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{1}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Bước 10.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Bước 10.3.3

Rút gọn.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 10.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$