Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5}{5 x}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y - 5}$ .

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y - 5} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y - 5} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y - 5$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 5$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y - 5$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Bước 3.3

Để viết $\ln (| y - 5 |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 5 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\ln (| y - 5 |)$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Bước 3.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\ln (| y - 5 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Bước 3.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn $\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Rút gọn $5 \ln (| y - 5 |)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y - 5 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Bước 3.6.1.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Bước 3.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5}$ ở dạng $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}) = C$

Bước 3.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{5}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Bước 3.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Bước 3.6.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Bước 3.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Bước 3.8

Viết lại $\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Bước 3.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Bước 3.9.2

Nhân cả hai vế với ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Bước 3.9.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Bước 3.9.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y - 5 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Bước 3.9.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.4.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y - 5 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Bước 3.9.4.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Bước 4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$