Giải tích Ví dụ

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ cho $1 + \sin^{2} (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ cho $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{- 2 y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $e^{2 y}$ với $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.2

Giả sử $u_{1} = 2 y$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 2.2.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.2.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.3

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.5

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Sau đó $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Bước 2.3.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 2.3.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 2.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 2.3.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.1

Cộng $0$ và $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 2.3.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.3.1.1.4.3

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Bước 2.3.1.1.4.4

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Bước 2.3.1.1.4.5

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{2 y})$ bằng cách di chuyển $2 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Bước 3.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Bước 3.5

Khai triển $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Bước 3.6

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Bước 3.6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ .

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ .

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Bước 6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.2.4

Nhân $2$ với $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.1.1.3

Cộng $0$ và $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\ln (C) = 2$

Bước 6.4

Để giải tìm $C$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Bước 6.5

Viết lại $\ln (C) = 2$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Bước 6.6

Viết lại phương trình ở dạng $C = e^{2}$ .

$C = e^{2}$

Bước 7

Thay $e^{2}$ cho $C$ trong $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $e^{2}$ bằng $C$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Bước 7.2

Viết lại $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.4

Rút gọn $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$