Giải tích Ví dụ

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Bước 1

Trừ $x^{2} \sin (x) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Bước 4.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Bước 4.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Bước 4.3.4.2

Nhân $\int \cos (x) d x$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Bước 4.3.5

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Bước 4.3.6

Viết lại $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ ở dạng $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Bước 5.2.2.1.1.2

Nhân $- (- x \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Bước 5.2.2.1.1.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Bước 5.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Bước 5.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Bước 5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Bước 5.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Bước 5.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Bước 5.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Bước 5.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Bước 5.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Bước 5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Bước 5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Bước 5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$