Giải tích Ví dụ

$(2 x y - 3 x^{2} y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x^{3} y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - 3 x^{2} y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 3 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2} y^{2}$ đối với $y$ là $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} (2 y)$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 6 x^{2} y$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y + 2 x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} - 2 x^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x^{3} y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x^{3} y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{3} y$ đối với $x$ là $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y (3 x^{2})$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 6 y x^{2}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y + 2 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 6 x^{2} y + 2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 6 x^{2} y + 2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - 3 x^{2} y^{2} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Bước 5.2

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Bước 5.4

Vì $- 3 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3 y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 5.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 5.7.3

Nhân $y$ với $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 5.7.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Bước 5.7.5

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Bước 5.7.6

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{- 3 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{3} + C$

Bước 5.7.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $y^{2} (- 3 x^{3})$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3} + C$

Bước 5.7.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 (1)} + C$

Bước 5.7.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Bước 5.7.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- x^{3})}{1} + C$

Bước 5.7.7.2.4

Chia $y^{2} (- x^{3})$ cho $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x^{2}$ đối với $y$ là $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.3.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $- x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} (- x^{3})$ đối với $y$ là $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2}$

Bước 9.1.2

Cộng $2 x^{3} y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Bước 9.1.3.2

Cộng $- 2 x^{3} y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Bước 9.1.3.3

Cộng $- 2 x^{3} y$ và $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $y$ là $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (y) = C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

Bước 12

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = y x^{2} - y^{2} x^{3} + C$