Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 1.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 1.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Bước 2.3.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 6.1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 6.1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 6.2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Bước 6.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Bước 6.4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Bước 6.5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Bước 6.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Bước 6.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Kết hợp $\cos (3 x)$ và $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.3

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$