Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Bước 1

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Bước 2

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 3

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 4

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Bước 5

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Bước 5.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + \cos^{2} (V) - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Bước 5.1.1.1.2.2

Cộng $0$ và $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Bước 5.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Bước 5.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Bước 5.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Bước 5.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Bước 5.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Kết hợp.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Bước 5.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Bước 5.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 5.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ sang $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2.2.2

Vì đạo hàm của $\tan (V)$ là $\sec^{2} (V)$ , tích phân của $\sec^{2} (V)$ là $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 5.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Bước 5.3

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $V$ từ trong hàm tang.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Bước 6

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Bước 7

Giải $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$