Giải tích Ví dụ

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $\frac{w}{25}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình với các hệ số đã tách riêng.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{1}{25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{25}$ và $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{t}{25}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{25}$ và $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ và $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

Bước 3.4

Nhân $e^{\frac{t}{25}}$ với $e^{\frac{- 1}{25} t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Bước 3.4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Bước 3.4.3.2

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

Bước 3.4.4

Cộng $- \frac{t}{25}$ và $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

Bước 3.5

Rút gọn $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ cho $e^{\frac{t}{25}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ cho $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{t}{25}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $w$ cho $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$