Giải tích Ví dụ

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

Bước 1

Cộng $(1 + \sin (x)) d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.2

Vì $6$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.5

Vì đạo hàm của $\tan (y)$ là $\sec^{2} (y)$ , tích phân của $\sec^{2} (y)$ là $\tan (y)$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Rút gọn.

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.2.6.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$