Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

Bước 1.2

Vì $e^{2 x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{2 x} y^{2}$ đối với $y$ là $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

Bước 1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} y - 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{2 x} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.4

Vì $- 2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $2 y e^{2 x}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y e^{2 x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y e^{2 x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

Bước 5.2

Vì $e^{2 x}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $e^{2 x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

Bước 5.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Bước 5.7.2

Kết hợp $\frac{e^{2 x}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Bước 5.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Bước 5.7.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Bước 5.7.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Bước 5.7.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Bước 5.7.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Bước 5.7.5.2.4

Chia $- y^{2}$ cho $1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Bước 5.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{e^{2 x}}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.3

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.9

Kết hợp $2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.10

Kết hợp $\frac{2 y^{2}}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.3.11.2

Chia $y^{2} e^{2 x}$ cho $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.4

Vì $- y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $y^{2} e^{2 x}$ và $0$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

Bước 8.6.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $y^{2} e^{2 x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Bước 9.1.2.2

Trừ $y^{2} e^{2 x}$ khỏi $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

Bước 12.1.2

Kết hợp $\frac{e^{2 x}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$