Giải tích Ví dụ

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Bước 1

Giả sử $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Thay $v_{1}$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Bước 2

Tìm $\frac{d v_{1}}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Bước 3

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Bước 4

Giả sử $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Thay $v_{2}$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{v_{1}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Bước 5

Tìm $\frac{d v_{2}}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{v_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = v_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Bước 5.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ ở dạng $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Bước 6

Thay $v_{2}$ bằng $e^{v_{1}}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Bước 7

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Bước 8

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân cả hai vế với $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Bước 8.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1

Rút gọn $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $v_{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.1.1.4.2

Sắp xếp lại $\frac{d v}{d x}$ và $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Bước 8.1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.2.1

Rút gọn $v (2 v x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Bước 8.1.2.2.1.2

Nhân $v_{2}$ với $v_{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.2.1.2.1

Di chuyển $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Bước 8.1.2.2.1.2.2

Nhân $v_{2}$ với $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Bước 8.1.3

Cộng $2 v_{2} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Bước 8.2

Đưa $2 v_{2} x$ ra ngoài $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2 v_{2} x$ ra ngoài $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Bước 8.2.2

Đưa $2 v_{2} x$ ra ngoài $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Bước 8.2.3

Đưa $2 v_{2} x$ ra ngoài $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Bước 8.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Bước 8.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.3.1

Đưa $v_{2} (v_{2} + 1)$ ra ngoài $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Bước 8.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Bước 8.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Bước 8.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Bước 9

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Bước 9.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.1

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.2

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $v_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $v_{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $v_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.5.1.2

Chia $A (v_{2} + 1)$ cho $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.5.3

Nhân $A$ với $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $v_{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Bước 9.2.1.1.5.4.2

Chia $B v_{2}$ cho $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Bước 9.2.1.1.6

Di chuyển $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Bước 9.2.1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $v_{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 9.2.1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $v_{2}$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A$

Bước 9.2.1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Bước 9.2.1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Bước 9.2.1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = A + B$ bằng $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Bước 9.2.1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.3.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Bước 9.2.1.3.3

Giải tìm $B$ trong $0 = 1 + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Bước 9.2.1.3.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Bước 9.2.1.3.4

Giải hệ phương trình.

$B = - 1 A = 1$

Bước 9.2.1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = - 1, A = 1$

Bước 9.2.1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Bước 9.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Bước 9.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Bước 9.2.3

Tích phân của $\frac{1}{v_{2}}$ đối với $v_{2}$ là $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Bước 9.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $v_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Bước 9.2.5

Giả sử $u_{3} = v_{2} + 1$ . Sau đó $d u_{3} = d v_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1

Hãy đặt $u_{3} = v_{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1.1

Tính đạo hàm $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Bước 9.2.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $v_{2} + 1$ đối với $v_{2}$ là $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Bước 9.2.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ là $n {v_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Bước 9.2.5.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $v_{2}$ , đạo hàm của $1$ đối với $v_{2}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 9.2.5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 9.2.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Bước 9.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Bước 9.2.7

Rút gọn.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Bước 9.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Bước 9.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Bước 9.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 9.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 9.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 9.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Bước 9.3.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Bước 9.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Bước 10

Giải tìm $v_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Bước 10.2

Để giải tìm $v_{2}$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Bước 10.3

Viết lại $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Bước 10.4

Giải tìm $v_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Bước 10.4.2

Nhân cả hai vế với $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Bước 10.4.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| u_{3} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Bước 10.4.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Bước 10.4.4

Giải tìm $v_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Bước 10.4.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Bước 11

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $e^{x^{2} + C}$ ở dạng $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Bước 11.2

Sắp xếp lại $e^{x^{2}}$ và $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Bước 11.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v_{2}$ với $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Bước 13

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Bước 13.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Khai triển $\ln (e^{v_{1}})$ bằng cách di chuyển $v_{1}$ ra bên ngoài lôgarit.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Bước 13.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Bước 13.2.3

Nhân $v_{1}$ với $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Bước 13.3

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Viết lại $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ ở dạng $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Bước 13.3.2

Viết lại $\ln (C | u_{3} |)$ ở dạng $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Bước 13.3.3

Khai triển $\ln (e^{x^{2}})$ bằng cách di chuyển $x^{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Bước 13.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Bước 13.3.5

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Bước 13.4

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v_{1}$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Bước 15

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Bước 15.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Bước 15.1.2.2

Cộng $\ln (C | u_{3} |)$ và $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Bước 15.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Bước 15.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Bước 15.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Bước 15.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Bước 16

Vì $y$ không âm ở điều kiện ban đầu $(0, 0)$ , nên chỉ xem xét $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ để tìm $C$ . Thay $0$ cho $x$ và $0$ cho $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Bước 17

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Bước 17.2

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Bước 17.2.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ ở dạng ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 17.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.2.1

Rút gọn ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 17.2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 17.2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Bước 17.2.2.2.1.2

Rút gọn.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Bước 17.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Bước 17.2.3

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.1

Để giải tìm $C$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Bước 17.2.3.2

Viết lại $\ln (C | u_{3} |) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Bước 17.2.3.3

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

Bước 17.2.3.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Bước 17.2.3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $C | u_{3} | = 1$ cho $| u_{3} |$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C | u_{3} | = 1$ cho $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Bước 17.2.3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $| u_{3} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Bước 17.2.3.3.3.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Bước 18

Thay $\frac{1}{| u_{3} |}$ cho $C$ trong $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay $\frac{1}{| u_{3} |}$ bằng $C$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Bước 18.2

Triệt tiêu thừa số chung $| u_{3} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Bước 18.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Bước 18.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Bước 18.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Bước 18.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 0$