Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 1 - x + 4 y$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 1 - x$

Bước 1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = - x + 1$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 4 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 4 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 4 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 1$

Bước 3.3.2

Nhân $e^{- 4 x}$ với $1$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - \int x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Kết hợp $e^{- 4 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.4.3

Kết hợp $e^{- 4 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.6.2

Nhân $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ với $1$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.8

Giả sử $u_{1} = - 4 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Hãy đặt $u_{1} = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 7.8.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 7.8.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 7.8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.9.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1})) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.11

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.12.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.13

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 4 x} d x$

Bước 7.14

Giả sử $u_{2} = - 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1

Hãy đặt $u_{2} = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 7.14.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.14.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 7.14.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 7.14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Bước 7.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.15.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Bước 7.15.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 7.16

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 7.17

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 7.18

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 7.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.19.1

Rút gọn.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.19.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.19.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.19.2.2

Kết hợp $e^{- 4 x}$ và $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.19.2.3

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.20

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.20.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.20.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- 4 x} y = - - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21.2

Nhân $- - \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.21.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = 1 \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21.2.2

Nhân $\frac{e^{- 4 x} x}{4}$ với $1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21.3

Nhân $- - \frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.21.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + 1 \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21.3.2

Nhân $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ với $1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 7.21.5

Kết hợp $e^{- 4 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C$

Bước 7.22

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ cho $e^{- 4 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ cho $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $\frac{x}{4}$ và $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.2.4

Kết hợp $e^{- 4 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.3

Để viết $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Nhân $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.4.2

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.2.1.1

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.2.1.1.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2.1.1.2

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $- e^{- 4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2.1.1.3

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- 3 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Để viết $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.2.1

Nhân $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.2.2

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 \cdot (x e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.4.2

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.4.2.1

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $4 x e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.4.2.2

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $- 3 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.4.2.3

Đưa $e^{- 4 x}$ ra ngoài $e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.5

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.6

Kết hợp $C$ và $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.8.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.8.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.6.8.4

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.8

Nhân $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ với $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Bước 8.3.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$