Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Bước 1.2

Kết hợp $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ và $\sqrt{x^{2}}$ vào một căn thức đơn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.3

Tách $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách phân số $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Bước 1.4

Viết lại $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Bước 6.1.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Bước 6.1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Bước 6.1.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Bước 6.1.1.2.2.2

Cộng $0$ và $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Bước 6.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Khai triển $(1 + V) (1 - V)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Bước 6.2.2.1.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Bước 6.2.2.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Bước 6.2.2.1.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.2

Nhân $- V$ với $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.3

Nhân $V$ với $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 - V + V - V \cdot V$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.5

Nhân $V$ với $V$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Di chuyển $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Bước 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Nhân $V$ với $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.2.2

Cộng $- V$ và $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1 - V^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.3

Sắp xếp lại $1$ và $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Bước 6.2.2.1.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Bước 6.2.2.1.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 6.2.2.1.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Bước 6.2.2.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Bước 6.2.2.1.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Bước 6.2.2.1.4.2.2

Viết lại $- 1 \cdot 0$ ở dạng $- 0$ .

$d = - 0$

Bước 6.2.2.1.4.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$d = 0$

Bước 6.2.2.1.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 6.2.2.1.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Bước 6.2.2.1.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Bước 6.2.2.1.5.2.1.3

Chia $0$ cho $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Bước 6.2.2.1.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = 1 + 0$

Bước 6.2.2.1.5.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$e = 1$

Bước 6.2.2.1.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Giả sử $u = V + 0$ . Sau đó $d u = d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Hãy đặt $u = V + 0$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Bước 6.2.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $V + 0$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Bước 6.2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Bước 6.2.2.2.1.4

Vì $0$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $0$ đối với $V$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.2.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Cộng $V$ và $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $V$ từ bên trong arcsin.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$