Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{2}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{2}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.4

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.2.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(x + 1)}^{- 2}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{2}{x + 1}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{2 y}{x + 1}$ với $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $x + 1$ với ${(x + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Nhân $x + 1$ với ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = 1$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = 1$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = x + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = x + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.3.2.1.2

Sắp xếp lại $x {(x + 1)}^{2}$ và $C {(x + 1)}^{2}$ .

$y = C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4

Rút gọn $C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Viết lại ${(x + 1)}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = C ((x + 1) (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.2

Khai triển $(x + 1) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.3.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$y = C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.3.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$y = C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.3.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$y = C (x^{2} + x + x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.3.2

Cộng $x$ và $x$ .

$y = C (x^{2} + 2 x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C (x^{2}) + C (2 x) + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.5.2

Nhân $C$ với $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.6

Viết lại ${(x + 1)}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x ((x + 1) (x + 1))$

Bước 8.4.1.7

Khai triển $(x + 1) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Bước 8.4.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Bước 8.4.1.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Bước 8.4.1.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.8.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Bước 8.4.1.8.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Bước 8.4.1.8.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Bước 8.4.1.8.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1)$

Bước 8.4.1.8.2

Cộng $x$ và $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + 2 x + 1)$

Bước 8.4.1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Bước 8.4.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.10.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.10.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.10.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Bước 8.4.1.10.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Bước 8.4.1.10.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1$

Bước 8.4.1.10.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1$

Bước 8.4.1.10.3

Nhân $x$ với $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x$

Bước 8.4.1.11

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.11.1

Di chuyển $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 (x \cdot x) + x$

Bước 8.4.1.11.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x^{2} + x$

Bước 8.4.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Di chuyển $C$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + x^{3} + 2 x^{2} + C + x$

Bước 8.4.2.2

Di chuyển $2 C x$ .

$y = C x^{2} + x^{3} + 2 C x + 2 x^{2} + C + x$