Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Bước 2.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\frac{π}{3}$ cho $t$ và $\frac{1}{2}$ cho $y$ trong $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{π}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Bước 4.3.2

Cộng $\frac{1}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Bước 4.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Bước 4.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Chia $2$ cho $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Bước 4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Bước 5

Thay $1 - \frac{π}{3}$ cho $K$ trong $y = t - \cos (t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $1 - \frac{π}{3}$ bằng $K$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$