Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Viết lại $9 y^{2}$ ở dạng ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Bước 1.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Bước 1.2.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3 y$ và $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Bước 1.2.2

Nhân $9 y^{2} - 4$ với $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $9 y^{2}$ ở dạng ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Bước 1.2.3.3

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3 y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Bước 1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3 y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Bước 1.2.5.2

Chia $6 x^{2}$ cho $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Vì $9$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ ở dạng $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $2$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ .

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Bước 4.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Bước 4.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Bước 4.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Bước 4.3

Rút gọn $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Bước 4.3.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Bước 4.3.1.3

Nhân $- 4$ với $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$16 + K = 0$

Bước 4.4

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 16$

Bước 5

Thay $- 16$ cho $K$ trong $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 16$ bằng $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$