Giải tích Ví dụ

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.3.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{4}{y}$ và $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $y e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Bước 3.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $4 t$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4 t$ ra khỏi tích phân.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Bước 3.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $4 t \ln (| y |) = x + C$ cho $4 t$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 t \ln (| y |) = x + C$ cho $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Bước 4.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Bước 4.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Bước 4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Bước 4.1.2.2.2

Chia $\ln (| y |)$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Bước 4.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Bước 4.3

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Bước 4.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Bước 4.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$